Question

已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，将线段DC绕点D逆时针旋转90°，得到线段DC′．
（1）求△ADC′的面积；
（2）若tan∠DAC′=

2

5

，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）证得△CFD≌△C′ED后得到EC′=FC=2，然后计算三角形的面积即可；
（2）根据上题证得的全等三角形和tan∠DAC′=

2

5

求得BD的长，再利用勾股定理求得CD的长即可．

解答：解：（1）作出线段DC′，（1分）
过点D作DF⊥BC于F，过点A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
易证FC=BH=

1

2

(6-2)=2，
∠EDF=∠ADF=90°，
过点C′作C′E垂直于AD的延长线于点E，
∴∠DEC′=∠DFC=90°，
∵线段DC绕点D逆时针旋转90°，得到线段DC′，
∴∠CDC′=90°，DC=DC′，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△CFD≌△C′ED，（2分）
∴EC'=FC=2，
∴S△ADC′=

1

2

AD•C′E=

1

2

×2×2=2；（3分）

（2）在Rt△AEC′中，tan∠DAC′=

2

5

，EC′=2，
∴EA=5，
∵AD=2，
∴ED=3，（4分）
由△CFD≌△C′ED得：DF=ED=3，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：CD=

13

，
∴AB=CD=

13

．（5分）

点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等知识，是一道不错的几何综合题．