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    20．【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“$\sqrt{（\;\;\;\;）}$”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．
    【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？
    【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
    也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后在x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．
    【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果xn，怎样变化．

    （1）若k=2，b=-4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；
    （2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
    （3）①若k=-$\frac{2}{3}$，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；
    ②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）

    分析 （1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三种情形解答即可．
    （2）分x1＞$\frac{b}{1-k}$，x1＜$\frac{b}{1-k}$，x1=$\frac{b}{1-k}$三种情形解答即可．
    （3）①如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，xn的值越来越接近两直线交点的横坐标．
    ②根据前面的探究即可解决问题．

    解答 解：（1）若k=2，b=-4，y=2x-4，
    取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=-4，…
    取x1=4，则x2x3=x4=4，…
    取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：
    当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小．
    当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4．
    当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大．
    （2）当x1＞$\frac{b}{1-k}$时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．
    当x1＜$\frac{b}{1-k}$时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．
    当x1=$\frac{b}{1-k}$时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．
    理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（$\frac{b}{1-k}$，$\frac{b}{1-k}$），
    当x1＞$\frac{b}{1-k}$时，对于同一个x的值，kx+b＞x，
    ∴y1＞x1
    ∵y1=x2，
    ∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，
    ∴当x1＞$\frac{b}{1-k}$时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．
    同理，当x1＜$\frac{b}{1-k}$时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．
    当x1=$\frac{b}{1-k}$时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．
    （3）①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示．
    随着运算次数的增加，运算结果越来越接近$\frac{6}{5}$．
    ②由（2）可知：-1＜k＜1且k≠0，
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$消去y得到x=$\frac{b}{1-k}$
    ∴由①探究可知：m=$\frac{b}{1-k}$．

    点评 本题考查一次函数综合题以及性质，解题的关键是学会从一般到特殊探究规律，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．

    练习册系列答案
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