Question

公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度2.25米（不计其他因素）．
（1）在如图2的直角坐标系中，求y轴两侧抛物线的解析式；
（2）请你通过计算回答水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可知右侧抛物线的顶点坐标是（1，2.25），并且经过点（0，1.25），设出顶点式解析式，利用待定系数法求解即可；再根据对称性写出左侧的抛物线解析式；
（2）把y=0代入抛物线解析式求出x的值，就是水池的半径．
解答：解：（1）根据题意，右侧抛物线的顶点坐标是（1，2.25），并且经过点（0，1.25），
设抛物线解析式为y=a（x-1）²+2.25，
则a（0-1）²+2.25=1.25，
解得a=-1，
∴右侧的抛物线解析式为y=-（x-1）²+2.25，
∵水流沿形状相同的抛物线落下，
∴左、右两侧的抛物线关于y轴对称，
∴左侧的抛物线解析式为y=-（x+1）²+2.25；

（2）当y=0时，-（x-1）²+2.25=0，
解得x₁=2.5，x₂=-0.5（舍去），
∴水池的半径至少2.5米．
故答案为：（1）左侧的抛物线解析式为y=-（x+1）²+2.25，右侧的抛物线解析式为y=-（x-1）²+2.25；
（2）水池的半径至少为2.5米．
点评：本题主要考查了二次函数的应用，与待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线顶点式解析式求解更加简便．