Question

【题目】如图，三角形ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上任意一点（与A、C两点不重合）．Q是CB延长线上一点，且始终满足条件BQ=AP，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）如图（1）当∠CQP=30°时．求AP的长．

（2）如图（2），当P在任意位置时，求证：DE=AB．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）作PF∥BC交AB于点F．根据等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以求出∠QPC=∠DPA=90°，得出AB=3AP而求出结论；

（2）作PF∥BC交AB于点F．根据等边三角形的性质就可以得出△PFD≌△QBD就有DF=DB，由等腰三角形的性质就可以得出AE=EF，由EF+FD=ED就可以得出结论．

试题解析：（1）如图（1），作PF∥BC交AB于点F，

∴∠AFP=∠ABC，∠APF=∠C．∠PFD=∠QBD，∠FPD=∠BQD．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠C=60°．AB=BC=AC．

∴∠AFP=60°，∠APF=60°，

∴∠AFP=∠APF=∠A=60°，

∴△AFP是等边三角形，

∴AF=AP=PF．

∵PE⊥AB，

∴AE=EF．

∵∠CQP=30°，∠C=60°，

∴∠QPC=90°，

∴∠DPA=90°，

∴∠ADP=30°．

∴AD=2AP．

∴AD=2AF．

∵DF+AF=AD，

∴DF+AF=2AF，

∴DF=AF，

∵BQ=AP，

∴BQ=FP．

在△PFD和△QBD中

，

∴△PFD≌△QBD（ASA），

∴FD=BD．

∴BD=DF=AF=AB．

∵AB=6，

∴AF=2，

∴AP=2．

答：AP的长为2；

（2）如图2，作PF∥BC交AB于点F．

∴∠AFP=∠ABC，∠APF=∠C．∠PFD=∠QBD，∠FPD=∠BQD．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠C=60°．AB=BC=AC．

∴∠AFP=60°，∠APF=60°，

∴∠AFP=∠APF=∠C=60°，

∴△AFP是等边三角形，

∴AF=AP=PF．

∵PE⊥AB，

∴AE=EF=AF．

∵BQ=AP，

∴BQ=FP．

由（1）知，△PFD≌△QBD（ASA），

∴FD=BD=BF．

∵ED=EF+DF=AF+BF，

∴ED=（AF+BF），

∴ED=AB．