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21、如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD.
(1)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(2)探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
分析:(1)首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC,然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数,由此即可判定△AOD的形状;
(2)利用(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解.
解答:解:(1)∵△OCD是等边三角形,
∴OC=CD,
而△ABC是等边三角形,
∴BC=AC,
∠ACB=∠OCD=60°,
∴∠BCO=∠ACD,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠AOD,
而∠BOC=a=150°,∠ODC=60°,
∴∠ADO=150°-60°=90°,
∴△ADO是直角三角形;

(2)①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°-α=α-60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α-60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°-α=50°,
∴α=140°.
所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD是等腰三角形.
点评:此题主要考查了等边三角形的性质与判定,以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识,根据旋转前后图形不变是解决问题的关键.
练习册系列答案
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21、如图,点D是等边三角形ABC内的一点,将△BDC绕点C顺时针旋转60°,试画出旋转后的三角形,并指出图中的全等图形以及它们的对应顶点、对应边和对应角.

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16、如图,点P是等边三角形ABC内一点,BP=5cm,△PAB绕点B旋转后能与△MCB重合,连接PM,则PM=
5
cm.

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3
,OB=
5
.求∠AOC的度数.
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小颖说:“等等,等我做完了,我们一起来看.”小明看完,小颖做完后高兴地说:“哈哈,太好了,我会了.”聪明的同学,你能先解答完题目2,再根据解答所得到的启迪来完成题目1吗?写出你的解答过程.

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如图:点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.将线段OC绕点C按顺时针方向旋转60°得到线段CD,连接OD、AD.
(1)求证:AD=BO;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:当α为多少度时(直接写出答案),△AOD是等腰三角形?

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