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已知:矩形ABCD中,AB=5,BC=12,点E在对角线AC上,且CE=6,动点P在矩形ABCD的四边上运动一周,则以P、E、C为顶点的等腰三角形有(  )个.
分析:根据等腰三角形的性质分为四种情况:P在BC上,P在CD上,P在AD上,P在AB上,在每种情况又分为三种情况①CE=PE,②PE=PC,③CE=CP,①CE=PE,分别求出对应的值,和CD、AD、AB比较即可.
解答:解:(1)P在BC上:①CP=CE=6<12,此时有一点P;
②CE=PE=6时,
过E作EN⊥BC于N,
cos∠ACB=
12
13
=
CN
CE

CN=
72
13

CP=2CN=
144
13
<12,此时有1点P;
③CP=EP时,
P在CE的垂直平分线MN(M为垂足)上,CM=EM=3,
cos∠ACB=
12
13
=
CM
CP

CP=
39
12
<12,存在一点P;
(2)P在CD上:①PE=PC,
此时P在CE的垂直平分线MN(M为垂足)上,
CM=EM=3,
cos∠ACD=
5
13
=
CM
CP

CP=
39
5
>5,
即P在CD的延长线上,此时不存在P点;
②CE=CP=6>CD,此时不存在P点;
③EP=CE=6,
过E作EN⊥CD于N,
cos∠ACD=
5
13
=
CN
CE

CN=
30
13

CP=2CN=
60
13
<CD,即此时存在一点P;
(3)P在AD上:①PE=CP,
过P作PM⊥AC于M,CM=EM=3,AM=13-3=10,
cos∠DAC=
12
13
=
AM
AP

AP=
130
12
<12,即此时存在一点P;
②CE=PC,
PD=
62-52
=
11
<12,此时存在一点P;
③PE=CE=6,
sin∠DAC=
5
13
=
EM
AE

EM=
35
13

AM=
72-(
35
13
)
2
=
42
13
,PM=
62-(
35
13
)
2
=
4429
13

AP=
42
13
-
4429
13
,AP′=
42
13
+
4429
13
,即存在2点P;

(4)P在AB上:①CP=PE,即P在CE的垂直平分线MN(M为垂足)上,
cos∠ACB=
12
13
=
CM
CP

CP=
39
12
<12,即CP小于C到AB的最短距离,即此时不存在P点;
②CE=CP=6<12,
∵C到AB的最短距离是12,
∴此时不存在P点;
③CE=PE=6,AE=13-6=7,
过E作EM⊥AB于M,
sin∠BAC=
12
13
=
EM
AE

EM=
84
13
>PE,
即E到AB的最短距离大于PE,
即此时不存在P点;
综合上述:共有(1+1+1)+1+(1+1+2)+0=8.
故选D.
点评:本题考查了对等腰三角形的判定和矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线性质的应用,关键是通过作图求出符合条件的所有情况,题目比较好,但是一道比较容易出错的题目.
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1
3
AC且AD=a,求的AE长(用含a的代数式表示);
(2)在(1)中,直线l把矩形分成两部分的面积比为2:5,求a的值;
(3)若AM=
1
4
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(4)如果直线l分别与边AD,AB相交于点E,F,AM=
1
4
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