Question

17．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H．
（1）求证：△EDH∽△FBH；
（2）若BD=6，求DH的长．

Answer 1

分析 （1）先根据题意得出四边形DCBE是平行四边形，再由平行四边形的性质得出FB∥DE，故可得出∠FBH=∠EDH，∠DEH=∠BFH，进而可得出结论；
（2）先有平行四边形的性质得出BC∥DE，BC=DE，再由△EDH∽△FBH可得出结论．

解答 （1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，是AB的中点，
∴DC=$\frac{1}{2}$AB=EB，DC∥BE，
∴四边形DCBE是平行四边形，
∴FB∥DE，
∴△EDH∽△FBH；

（2）解：由（1）知，BC∥DE，BC=DE，
∵FB=$\frac{1}{2}$BC，
∴FB=$\frac{1}{2}$DE．
∵△EDH∽△FBH，
∴$\frac{DE}{BF}$=$\frac{DH}{HB}$=2．
∵DH+HB=6，
∴DH=4．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．