Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，经过AD两点的圆分别与AB，AC交于点E、F，连接DE，DF．

（1）求证：DE＝DF；

（2）求证：以线段BE+CF，BD，DC为边围成的三角形与△ABC相似，

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）连接AD，证明∠BAD＝∠CAD即可得出，则结论得出；

（2）在AE上截取EG＝CF，连接DG，证明△GED≌△CFD，得出DG＝CD，∠EGD＝∠C，则可得出结论△DBG∽△ABC．

（1）证明：连接AD，

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴，

∴DE＝DF．

（2）证明：在AE上截取EG＝CF，连接DG，

∵四边形AEDF内接于圆，

∴∠DFC＝∠DEG，

∵DE＝DF，

∴△GED≌△CFD（SAS），

∴DG＝CD，∠EGD＝∠C，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴△DBG∽△ABC，

即以线段BE+CF，BD，DC为边围成的三角形与△ABC相似．