Question

请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二中间题的解答．
引例：设a，b，c为非负实数，求证：

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c），
分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a+b+c的正方形来研究．
解：如图①设正方形的边长为a+b+c，
则AB=

a2+b2

，
BC=

b2+c 2

，
CD=

a2+c2

，
显然AB+BC+CD≥AD，
∴

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+a2

≥

2

（a+b+c）
探究一：已知两个正数x、y，满足x+y=12，求

x2+4

+

y2+9

的最小值：
解：（图②仅供参考）
探究二：若a、b为正数，求以

a2+b2

，

4a2+b2

，

a2+4b2

为边的三角形的面积．

Answer 1

分析：（1）设矩形的两边长分别为x+y=12，2+3，根据勾股定理得到AB=

x2+4

，BC=

y2+9

，则AB+BC≥AC，利用勾股定理计算AC即可；
（2）设矩形ABCD的两边长分别为2a、2b，E、F分别为AB、AD的中点，根据勾股定理得到CF=

4a 2+b2

，CE=

a2+4b2

，EF=

a2+b2

，因此以

a2+b2

，

4a2+b2

，

a2+4b2

为边的三角形的面积为S_△CEF，然后根据S_△CEF=S_矩形ABCD-S_△CDE-S_△AEF-S_△BCE计算即可．

解答：解：（1）如图，设矩形的两边长分别为x+y=12，2+3，
则AB=

x2+4

，BC=

y2+9

，
显然AB+BC≥AC，当A、B、C三点共线时，AB+BC最小，
即

x2+4

+

y2+9

的最小值为AC，
而AC=

122+52

=13，
∴

x2+4

+

y2+9

的最小值为13；

（2）如图，设矩形ABCD的两边长分别为2a、2b，E、F分别为AB、AD的中点，
则CF=

4a 2+b2

，CE=

a2+4b2

，EF=

a2+b2

，
∴以

a2+b2

，

4a2+b2

，

a2+4b2

为边的三角形的面积为S_△CEF，
而S_△CEF=S_矩形ABCD-S_△CDE-S_△AEF-S_△BCE
=4ab-

1

2

•2a•b-

1

2

ab-

1

2

a•2b
=

3

2

ab，
∴以

a2+b2

，

4a2+b2

，

a2+4b2

为边的三角形的面积为

3

2

ab．

点评：本题考查了利用几何方法求几个无理式和的最值问题：先根据题意画出几何图形，再根据勾股定理表示各式的几何意义，然后根据几何性质讨论最值问题．