Question

28、设a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，…，a_n=（2n+1）²-（2n-1）²（n为大于0的自然数）．
（1）根据上述规律，求a₄，a₅的值．并写出a_n+1的表达式；
（2）探究a_n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（3）若一个数的算术平方根是一个正整数（例如l，25，8l等），则称这个数是“完全平方数”，试找出a₁，a₂，…，a_n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a_n为完全平方数（不必说明理由）．

Answer 1

分析：（1）根据题中所给的规律分别把n=4，5及n+1代入即可；
（2）把（1）中所给的a_n=（2n+1）²-（2n-1）²展开即可得出结论；
（3）把a_n=8n化为2²×2n的形式，要使a_n是完全平方数，2n必须是一个完全平方数，是一个完全平方数的2倍，即n=2k²，在分别把k=1，2，3代入即可求解．

解答：解：（1）a₄=9²-7²=32，
a₅=11²-9²=40，
a_n+1=（2n+1）²-（2n-1）²；

（2）∵a_n=（2n+1）²-（2n-1）²=8n，
∴a_n是8的倍数；

（3）∵a_n=8n=2²×2n，
∴要使a_n是完全平方数，2n必须是一个完全平方数，
∴n是一个完全平方数的2倍，即n=2k²（k=1，2，3…，且k是正整数），
∴a₁，a₂，…，a_n，…这一列数从小到大排列的前4个完全平方数是：
a₂=2²×2×2×1²=16；a₈=2²×2×2×2²=64；
a₁₈=2²×2×2×3²=144；a₃₂=2²×2×2×4²=256；
∴当n是一个完全平方数的2倍时，a_n是一个完全平方数．

点评：本题考查的是完全平方数，根据题意把a_n化为2²×2n的形式，再根据完全平方数的概念求解是解答此题的关键．