Question

一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队的生态区考察了多少天？

Answer 1

解：设考察队到生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天
则由题意得 x+y+z=60，
17x-25y=24-25，即25y-17x=1．①
先求出①的一组特殊解（x₀，y₀），（这里x₀，y₀可以是负整数）．用辗转相除法．
25=l×17+8，17=2×8+1，故1=17-2×8=17-2×（25-17）=3×17-2×25．
与①的左端比较可知，x₀=-3，y₀=-2．
由不定方程的知识可知，①的一切整数解可表示为x=-3+25t，y=-2+17t，
∴x+y=42t-5，t为整数．按题意0＜x+y＜60，故仅当t=1时才合题意，这时x+y=42-5=37，
∴z=60-（x+y）=23．
答：考察队在生态区考察的天数是23天．
分析：设考察队到生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天则x+y+z=60，
根据题目说明可列方程17x-25y=24-25，即25y-17x=1．①
这里x、y是正整数，现设法求出①的一组合题意的解，然后计算出z的值．
为此，用辗转相除法先求出①的一组特殊解（x₀，y₀），（这里x₀，y₀可以是负整数）．即x₀=-3，y₀=-2．
下面再求出①的合题意的解．再由不定方程的知识可知令x=-3+25t，y=-2+17t，则x+y=42t-5，t为整数．
按题意0＜x+y＜60，此时t可确定，x+y的值即可确定，那么z值就确定．
点评：本题考查二元一次方程的应用．本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希望学生仔细领会所用方法．