Question

【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上的一个动点(不与点B.C重合)，连结AE，并作EF⊥AE，交CD边于点F，连结AF.设BE=x，CF=y.

（1）求证：△ABE∽△ECF；

（2）当x为何值时，y的值为2；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）x的值为2或6时，y的值为2

【解析】

（1）①先判断出∠BAE＝∠CEF，即可得出结论；

（2）利用的相似三角形得出比例式即可建立x，y的关系式，代入即可；

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°．

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°＝∠B．

∴∠BAE＋∠AEB＝90°，

∠FEC＋∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．

又∵∠B＝∠C，

∴△ABE∽△ECF．

②∵△ABE∽△ECF．

∴，

∵AB＝6，BC＝8，BE＝x，CF＝y，EC＝8x，

∴．

∴y＝x2＋x．

∵y＝2，x2＋x＝2，

解得　　x1＝2，x2＝6．

∵0＜x＜8，

∴x的值为2或6．