Question

19．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tan∠BAC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到DF=2$\sqrt{2}$，根据勾股定理得到AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，求得AE=$\sqrt{6}$，设⊙O的半径为R，则OE=R-$\sqrt{3}$，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直线AB与⊙O相切；

（2）连结BD，交AC于点F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DB与AC互相垂直平分，
∵AC=8，tan∠BAC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AF=4，tan∠DAC=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DF=2$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴AE=$\sqrt{6}$，
在Rt△PAE中，tan∠1=$\frac{PE}{AE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PE=$\sqrt{3}$，
设⊙O的半径为R，则OE=R-$\sqrt{3}$，OA=R，
在Rt△OAE中，∵OA²=OE²+AE²，
∴R²=（R-$\sqrt{3}$）²+（$\sqrt{6}$）²，
∴R=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即⊙O的半径为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了菱形的性质和锐角三角函数以及勾股定理．