Question

已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且AM=AN，过A作BM的垂线，垂足为P，求证：∠APN=∠BNC．

Answer 1

证明：延长AP交DC于E，连接NE，
∵AP⊥BM，
∴∠APB=∠BPE=∠APM=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠BPE+∠BCD=180°，
∴P、B、C、E四点共圆，
而∠PAM+∠AMP=90°，∠AMP+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠PAM=∠EAD，
∴△ABM≌△DAE，
∴DE=AM=AN，
∴CE=BN，
∴四边形NBCE是矩形，
∴N、B、C、E四点共圆，
即N、B、C、E、P五点共圆，
∴∠NPB=∠NCB，
∵∠APN+∠BPN=90°，∠BCN+∠BNC=90°，
∴∠APN=∠BNC．
分析：延长AP交DC于E，连接NE，由∠BPE+∠BCD=180°，证出P、B、C、E四点共圆，由△ABM和△DAE全等，推出CE=BN，得出矩形BNEC，证出N、B、C、E四点共圆，即N、B、C、E、P五点共圆，即可得出答案．
点评：本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，确定圆的条件等知识点，解此题的关键是证明∠NPB和∠NCB相等．题目较好但有一定的难度．