Question

观察下列各式：(x－1)(x＋1)＝x²－1；(x－1)(x²＋x＋1)＝x³－1；(x－1)(x³＋x²＋x＋1)＝x⁴－1；…

(1)根据上面各式的规律可得：(x－1)(xⁿ＋x^n－1＋…＋x²＋x＋1)＝(其中n为正整数)；

(2)利用上述规律，求1＋2＋2²＋2³＋…＋2⁵⁰的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)认真观察三个等式，可发现它们的共同特征是：等号左边第一个含括号的式子相同，都是(x－1)；从第二个式子开始，等号左边第二个含括号的式子在前一个式子的基础上依次添加了x2、x3、…，而等号右边则依次是x3、x4、…与1的差．于是就能得到规律：(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)＝xn+1－1．(2)设x＝2，n＝50，根据(1)题得到的规律，可以使问题得到解决． 　　解：(1)填xn+1－1； 　　(2)在(x－1)(xn＋xn－1＋…＋x2＋x＋1)中，若x取2，n取50，则可得(2－1)(250＋249＋…＋22＋2＋1)＝251－1． 　　故1＋2＋22＋23＋…＋250＝251－1 　　点评：在解答此类题时，应认真观察各项之间的变化，寻找规律，然后利用规律解题