Question

若方程x²-mnx+m+n=0有整数根，且m、n为正整数，则m•n的值有（　　）

• A、1个
• B、3个
• C、5个
• D、无数个

Answer 1

分析：设方程两整数根为x₁，x₂，则x₁+x₂=mn＞0，x₁•x₂=m+n＞0，再根据（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，即可进行求解．

解答：解：设方程有整数根，则x₁+x₂=mn＞0，x₁•x₂=m+n＞0，故这两个根均为正数．
又（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，
其中（x₁-1）（x₂-1），m-1，n-1均非负，而为两个非负整数和的情况仅有0+2；1+1；2+0．
分别可解得

m=2 n=3

或

m=3 n=2

；

m=2 n=2

，

m=1 n=5

，

m=5 n=1

，
∴m•n的值仅有3个，
故选B．

点评：本题考查了根与系数关系，难度适中，主要掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．