Question

如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等弧对等弦即可证明．
（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．

解答：（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：

BD

=

CD

∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．

（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：

BD

=

CD

，
∴∠1=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∠4=∠5，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）

点评：本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件．