Question

9．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．
（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD-2DE=$\sqrt{2}$BM；
（2）如图2，当点M在BC延长线上时，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，连接CG．若DE=$\sqrt{2}$，且AF：FD=1：2时，求线段CG的长．

Answer 1

分析 （1）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；
（2）过点M作MF⊥BC交BD于点F，推出FM=DN，根据AAS证△EFM和△EDN全等，推出DE=EF，根据正方形的性质和勾股定理求得BD+2DE=$\sqrt{2}$BM，根据已知求出CM的长，证△ABF∽△DNF，得出比例式，代入后求出CD长，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过点M作MF⊥BC交BD于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴FM∥CD，
∴∠NDE=∠MFE，
∴FM=BM，
∵BM=DN，
∴FM=DN，
在△EFM和△EDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠MFE}\\{∠NED=∠MEF}\\{DN=FM}\end{array}\right.$，
∴△EFM≌△EDN，
∴EF=ED，
∴BD-2DE=BF，
根据勾股定理得：BF=$\sqrt{2}$BM，
即BD-2DE=$\sqrt{2}$BM．
                               
（2）过点M作MH⊥BC交BD于点H，
与（1）证法类似：BD+2DE=BH=$\sqrt{2}$BM，
∴BD=$\sqrt{2}$BC，
∵DE=$\sqrt{2}$，
∴CM=2，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△DNF，
∴AF：FD=AB：ND，
∵AF：FD=1：2，
∴AB：ND=1：2，
∴CD：ND=1：2，
CD：（CD+2）=1：2，
∴CD=2，
∴FD=$\frac{4}{3}$，
∴FD：BM=1：3，
∴DG：BG=1：3，
∴DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．