Question

17．如图所示正方形ABCD中，∠1=∠2=∠3=∠4，求证：四边形EFMN为正方形．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=BC，∠DAB=∠ABC，然后证明∠BAE=∠CBF，从而可证明△AEB≌△BFC，然后可证出EF=FM，同理FM=MN=EN，最后再证明∠FEN=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠DAB=∠ABC，
∵∠1=∠4，
∴∠BAE=∠CBF，
在△AEB和△BFC中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{AB=BC}\\{∠4=∠3}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△BFC（ASA），
∴BE=CF，AE=BF，
∴EF=FM，
同理FM=MN=EN，
∵∠1+∠BAE=90°，
∴∠4+∠BAE=90°，
∴∠FEN=90°，
∴四边形EFMN为正方形．

点评 此题主要考查了正方形的性质和判定，关键是掌握正方形四边形相等，四个角都是直角，有一个角是直角的菱形是正方形．