Question

如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点C（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．
（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，-2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）把A（-1，0）和点C（0，-5）代入y=ax²-4x+c，得到一个二元一次方程组，求出方程组的解，即可得到该二次函数的解析式，当y=0时，x²-4x-5=0，求出方程的解即可得出它与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）根据等腰三角形的判定分OP=PM，OP=OM，PM=OM三种情况即可求出x轴上所有点M的坐标．

解答：解：（1）根据题意，
得

0=a×(-1)2-4×(-1)+c -5=a×02-4×0+c.

，
解得

a=1 c=-5.

，
∴二次函数的表达式为y=x²-4x-5，
当y=0时，x²-4x-5=0，
解得：x₁=5，x₂=-1，
∵点A的坐标是（-1，0），
∴B（5，0），
答：该二次函数的解析式是y=x²-4x-5，和它与x轴的另一个交点B的坐标是（5，0）．

（2）令y=0，得二次函数y=x²-4x-5的图象与x轴
的另一个交点坐标B（5，0），
由于P（2，-2），符合条件的坐标有共有4个，
分别是M₁（4，0）M₂（2，0）M₃（-2

2

，0）M₄（2

2

，0），
答：x轴上所有点M的坐标是（4，0）、（2，0）、（-2

2

，0）、（2

2

，0），使得△OPM是等腰三角形．

点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元二次方程，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，