Question

16．已知：如图1，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E，连接DE．

（1）求∠AED的度数．
（2）①求证：EB-EC=$\sqrt{2}$DE；
②若点A为直线AB上的动点，当点A运动到如图2位置时，①中的结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，直接写出类似的结论（不必证明）．
（3）若点A运动到BD的延长线时，如图3，当DC=$\sqrt{5}$，DE=2$\sqrt{2}$时（0＜BE＜2），求AE的长．

Answer 1

分析 （1）证出△ADC∽△AEB，求出$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，再求出△ADE∽△ACB即可；
（2）①在BE上截取BH=EC，求出∠1=∠2，BD=DC，根据SAS推出△BDH≌△CDE，根据全等得出DH=DE，∠3=∠4，求出△DHE为等腰直角三角形，推出BE-EC=BE-BH=HE=$\sqrt{2}$DE即可；②原结论不成立，结论应为：EC-BE=$\sqrt{2}$DE；
（3）延长EB到H，使BH=EC，证△ADC∽△ABE，△ADE∽△ABC，求出△DBC为等腰直角三角形，根据SAS推出△BDH≌△CDE，根据全等得出DE=DH，求出△EDH为等腰直角三角形，推出EC+BE=$\sqrt{2}$DE，设BE=x，求出EC=4-x，在Rt△EBC中，由勾股定理得${x^2}+{（{4-x}）^2}={（{\sqrt{10}}）^2}$，求出x，解直角三角形求出tan∠3=$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{3}$，延长DE，过点A作AF⊥DE的延长线于点F，在Rt△AFD中，tan∠4=tan∠3=$\frac{1}{3}$，设AF=EF=a 则DF=3a，求出DE=3a-a=2a=$2\sqrt{2}$，即可求出答案．

解答 （1）解：如图1：∵CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E，
∴∠AEB=∠ADC=90°
∵∠A=∠A
∴△ADC∽△AEB
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB
∴∠AED=∠ABC=45°；


（2）①证明：如图2：在BE上截取BH=EC．
∵△ADC∽△ABE，
∴∠1=∠2，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°
∵∠ABC=45°，
∴BD=DC，
在△BDH和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠1=∠2}\\{BH=CE}\end{array}\right.$
∴△BDH≌△CDE（SAS），
∴DH=DE，∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠HDE=∠4+∠5=90°，
∴△DHE为等腰直角三角形，
∴BE-EC=BE-BH=HE=$\sqrt{2}$DE，
∴BE-EC=$\sqrt{2}$DE；

②如图3，
原结论不成立，结论应为：EC-BE=$\sqrt{2}$DE；

（3）如图4：延长EB到H，使BH=EC，
同理可证：△ADC∽△ABE，△ADE∽△ABC，
∠DEC=45°，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∵∠1=∠2=∠DCE，
在△BDH和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{∠2=∠DCE}\\{BH=CE}\end{array}\right.$
∴△BDH≌△CDE（SAS），
∴DE=DH，
∴∠5=180°-90°-45°=45°，
∴∠5=∠H=45°，
∴△EDH为等腰直角三角形，
∴HB+BE=EC+BE=HB=$\sqrt{2}$DE
∴EC+BE=$\sqrt{2}$DE，
设BE=x
∵△DBC为等腰直角三角形
∴BC=$\sqrt{2}$DC=$\sqrt{10}$，
∵EC+BE=$\sqrt{2}$DE，
即EC+x=$\sqrt{2}$•$2\sqrt{2}$=4，
∴EC=4-x，
在Rt△EBC中，由勾股定理得：${x^2}+{（{4-x}）^2}={（{\sqrt{10}}）^2}$，
解得：x=1或3，
∵0＜BE＜2，
∴BE=1，
∴tan∠3=$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{3}$，
延长DE，过点A作AF⊥DE的延长线于点F，
在Rt△AFD中，tan∠4=tan∠3=$\frac{1}{3}$，
∵∠AEF=∠DEC=45°，
∴设AF=EF=a 则DF=3a，
∴DE=3a-a=2a=$2\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$=2．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．