Question

7．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x的图象与反比例函数y=-$\frac{1}{x}$的图象交于A、B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如果点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标．

Answer 1

分析 （1）联立方程，解方程即可求得A、B的坐标；
（2）设P（0，t），根据两点间的距离公式得AB²=（-1-1）²+（1+1）²=8，PA²=1+（t-1）²，PB²=1+（t+1）²，然后分类讨论：
当∠APB=90°时，PA²+PB²=AB²，即1+（t-1）²+1+（t+1）²=8，当∠PAB=90°时，PA²+AB²=PB²，即1+（t-1）²+8=1+（t+1）²，当∠PBA=90°时，PB²+AB²=PA²，即1+（t+1）²+8=1+（t-1）²，再分别解关于t的方程即可．

解答 解：（1）∵一次函数y=-x的图象与反比例函数y=-$\frac{1}{x}$的图象交于A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴A（-1，1），B（1，-1）；
（2）设P（0，t），则AB²=（-1-1）²+（1+1）²=8，PA²=1+（t-1）²，PB²=1+（t+1）²，
当∠APB=90°时，PA²+PB²=AB²，即1+（t-1）²+1+（t+1）²=8，解得t=±$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）；
当∠PAB=90°时，PA²+AB²=PB²，即1+（t-1）²+8=1+（t+1）²，解得t=2，此时P点坐标为（0，2）；
当∠PBA=90°时，PB²+AB²=PA²，即1+（t+1）²+8=1+（t-1）²，解得t=-2，此时P点坐标为（0，-2），
综上所述，P点坐标为（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）或（0，2）或（0，-2）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了勾股定理和两点间的距离公式．