Question

如图，四边形ABCD内接于以AC为直径的⊙O，AC，BD交于点E，DB平分∠ADC，AF∥BD交CD延长线于点F，且CD，DF的长是关于x的方程x²-3x+p=0的两根．
（1）求证：DE=

2

2

p；
（2）求DB的长．

Answer 1

分析：（1）AC为直径，∠ADC=∠ABC=∠ADF=90°，由DB平分∠ADC，AF∥BD得△ADF、△ABC都是等腰直角三角形，由两根关系得：CD+DF=3，DF²-3DF+p=0，p=3DF-DF²；由平行得相似，利用相似比证明结论；
（2）求线段BD，把问题转化为证明△ABD∽△ACF，再寻找相似的条件．

解答：（1）证明：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°．
又∵DB平分∠ADC，AF∥BD，
∴∠DAF=∠F=45°．
∴△ADF为等腰直角三角形．
∴AF=

2

DF，AD=DF．
∵CD，DF的长是关于x的方程x²-3x+p=0的两根，
∴CD+DF=CF=3，DF²-3DF+p=0，p=3DF-DF²
∵AF∥BD，
∴△CDE∽△CFA．
∴

DE

AF

=

CD

CD+DF

．
即

DE

2 DF

=

3-DF

3

DE=

2

3

（3DF-DF²）=

2

3

p．

（2）解：∵∠ABD、∠ACD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ABD=∠ACD．
又∠ADB=∠F=45°，
∴△ABD∽△ACF．
∴

AB

AC

=

BD

CF

．
即

2

2

=

BD

3

．
BD=

3 2

2

．

点评：本题考查了圆周角定理，根与系数关系的知识，要学会通过题目的已知条件，写出相关等式，寻找相似三角形，利用相似比解答问题．