Question

16．在△ABC中，∠ABC的平分线与在∠ACE的平分线相交于点D．
（1）若∠ABC=70°，∠ACB=30°，求∠A和∠D的度数；
（2）由（1）小题的计算结果，猜想，∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理，已知∠ABC=70°，∠ACB=30°，易求∠A，根据角平分线定义和外角的性质即可求得∠D度数，
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D的等式，再与∠A比较即可解答．

解答 解：（1）在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵BD为∠ABC，CD为∠ACE的角平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
∴∠D=180°-∠DBC-∠ACB-∠ACD=180°-35°-30°-75°=40°，
∴∠A=80°，∠D=40°；

（2）通过第（1）的计算，得到∠A=2∠D，理由如下：
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2（∠DCE-∠DBC），∠D=∠DCE-∠DBC，
∴∠A=2∠D．

点评 本题考查了三角形内角和定理以及角平分线定义，外角的性质，熟练掌握三角形的内角和和外角的性质是解题的关键．