Question

如图，已知直线y=

1

3

x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是______线段AD的长等于______；
（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x²+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=

1

3

x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴y=0时，x=-3，x=0时，y=1，
∴A点坐标为：（-3，0），B点坐标为：（0，1），
∴OC=3，DO=1，
∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4；

（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠COM．
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，
∴∠ODM=∠MOD，
∴OM=MD=CM，
∴点M是CD的中点，
∴点M的坐标为（

1

2

，

3

2

）．
（说明：由CM=OM得到点M在OC在垂直平分线上，所以点M的纵坐标为

3

2

，再求出直线CD的解析式，进而求出点M的坐标也可．）
∵抛物线y=x²+bx+c经过点C，M，
∴

c=3 1 4 + 1 2 b+c= 3 2

，
解得：

b=- 7 2 c=3

．
∴抛物线y=x²+bx+c的解析式为：y=x²-

7

2

x+3．

（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形．
情形1：如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形．

∴∠FCE=∠PCE，
由题意可知，OA=OC，
∴∠ACO=∠PCE=45°，
∴∠FCP=90°，
∴菱形CFEP为正方形．
过点P作PH⊥CE，垂足为H，
则Rt△CHP为等腰直角三角形．
∴CP=

2

CH=

2

PH．
设点P为（x，x²-

7

2

x+3），则OH=x²-

7

2

x+3，PH=x，
∵PH=CH=OC-OH，
∴3-（x²-

7

2

x+3）=x，
解得：x=

5

2

∴CP=

2

CH=

5

2

×

2

=

5 2

2

，
∴菱形CFEP的周长l为：

5 2

2

×4=10

2

．
情形2：如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形．

∴CF=PF，CE∥FP．
∵直线AC过点A（-3，0），点C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
过点C作CM⊥PF，垂足为M，
则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM．
延长PF交x轴于点N，
则PN⊥x轴，∴PF=FN-PN，
设点P为（x，x²-

7

2

x+3），则点F为（x，x+3），
∴FC=

2

x，FP=（x+3）-（x²-

7

2

x+3）=-x²+

9

2

x，
∴

2

x=-x²+

9

2

x，
解得：x=

9

2

-

2

，
∴FC=

2

x=

9 2

2

-2，
∴菱形CFEP的周长l为：（

9 2

2

-2）×4=18

2

-8．
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为10

2

或18

2

-8．