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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时AP•CQ的值为
8
8
.将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,则AP•CQ的值是否会改变?
答:
不会
不会
.(填“会”或“不会”)此时AP•CQ的值为
8
8
.(不必说明理由)
(2)在(1)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图2、图3供解题用)
(3)在(1)的条件下,PQ能否与AC平行?若能,求出y的值;若不能,试说明理由.
分析:(1)根据等腰直角三角形的性质可知∠A=∠C=45°,∠APD=∠QDC=90°,故可得出△APD∽△CDQ,由相似三角形的对应边成比例即可求出AP•CQ的值,当将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α,同理可得△APD∽△CDQ,故可得出结论;
(2)由于三角板DEF的旋转角度不能确定,故应分0°<α≤45°与45°<α<90°时两种情况进行讨论,①当0°<α≤45°时,过点D作DM⊥AB于M,DN⊥BC于N,则DM=DN=2,由于CQ=x,则AP=
8
x
,再用x表示出△APD及△DQC的面积即可;②当45°<α<90°时,过点D作DG⊥BC于G,DG=2,用x表示出AP及BP的值,再根据
BP
DG
=
BM
MG
即可求出MG及MQ的值,进而可得出结论;
(3)在图(2)的情况下,根据PQ∥AC时,BP=BQ,即可求出x的值,进而得出结论.
解答:解:(1)8,不会,8;
∵∠A=∠C=45°,∠APD=∠QDC=90°,
∴△APD∽△CDQ.
∴AP:CD=AD:CQ.
∴即AP×CQ=AD×CD,
∵AB=BC=4,
∴斜边中点为O,
∴AP=PD=2,
∴AP×CQ=2×4=8;
将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.
∵在△APD与△CDQ中,∠A=∠C=45°,
∠APD=180°-45°-(45°+a)=90°-a,
∠CDQ=90°-a,
∴∠APD=∠CDQ.
∴△APD∽△CDQ.
AP
AD
=
CD
CQ

∴AP•CQ=AD•CD=AD2=(
1
2
AC)2=8.

(2)当0°<α≤45°时,如图2,过点D作DM⊥AB于M,DN⊥BC于N,
∵O是斜边的中点,
∴DM=DN=2,
∵CQ=x,则AP=
8
x

∴S△APD=
1
2
8
x
•2=
8
x
,S△DQC=
1
2
x×2=x,
∴y=8-
8
x
-x(2≤x<4),
当45°<α<90°时,如图3,过点D作DG⊥BC于G,DG=2
∵CQ=x,
∴AP=
8
x

∴BP=
8
x
-4
BP
DG
=
BM
MG

8
x
-4
2
=
2-MG
MG
,MG=
2x
4-x
…(6分)
∴MQ=
2x
4-x
+(2-x)=
x2-4x+8
4-x

∴y=
x2-4x+8
4-x
(0<x<2);

(3)在图(2)的情况下,
∵PQ∥AC时,BP=BQ,
∴AP=QC
∴x=
8
x
,解得x=2
2

∴当x=2
2
时,y=8-
8
2
2
-2
2
=8-4
2
点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质及图形旋转的性质,三角形的面积公式,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
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(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD~△CDQ。此时,AP·CQ=______。
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