Question

【题目】（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；

（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；

（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；

Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

Answer 1

【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．

【解析】

（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；

（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；

（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．

（1）结论：AF=BD，理由如下：

如图1中，∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即：∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

∵，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由如下：

如图2中，∵△ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠BCA=60°，

同理知，DC=CF，∠DCF=60°，

∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

∵，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD=AF；

（3）Ⅰ．AF+BF′=AB，理由如下：

由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；

同理：△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，

∴AF+BF′=BD+AD=AB；

Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由如下：

同理可得：，，

在△BCF′和△ACD中，

，

∴△BCF′≌△ACD（SAS），

∴BF′=AD，

又由（2）知，AF=BD，

∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．