Question

7．已知二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+2的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C．
（1）求△ABC的面积；
（2）若-2≤x≤3，求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用抛物线与x轴的交点问题求出A点和B点坐标，再根据二次函数的性质求出C点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（2）根据二次函数的性质，当-2≤x≤3时，x=0时y最大，x=3时y最小，从而可得到y的取值范围．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+2=0，解得x₁=-2，x₂=2，则A（-2，0），B（2，0），
抛物线顶点坐标为（0，2），
所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×（2+2）×2=4；
（2）当x=0时，y有最大值2；
当x=-2时，y=-$\frac{1}{2}$x²+2=0；当x=3时，y=-$\frac{1}{2}$x²+2=-$\frac{5}{2}$，
所以y的取值范围为-$\frac{5}{2}$≤y≤2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标的问题化为求一元二次方程ax²+bx+c=0的解的问题．也考查了二次函数的性质．