Question

关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0中，当b²-4a≥0，方程的两个根x₁和x₂不相等或相等，而且有x₁+x₂=-，x₁•x₂=；当b²-4ac＜0时，方程无实数解．比如方程x²-7x+12=0的两根x₁=3，x₂=4，则有b²-4ac=49-4×1×12=1＞0，而且x₁+x₂=7，x₁•x₂=12，2x²+x+1=0，b²-4ac=1-4×2×1=-7＜0，方程无解．根据以上情况解下列问题．
已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，a＞b，且a，b是关于x的方程x²-（m-1）x+（m+4）=0的两根，当AB=5时：（1）求m的值；（2）求a和b．

Answer 1

解：（1）根据题意得a²+b²=25，a+b=m-1，ab=m+4，
再根据（a+b）²=a²+b²+2ab，
可得（m-1）²=25+2（m+4），
解方程得m=-4或m=8，
当m=-4时，a+b=m-1=-5，与实际意义不符，
所以m的值只能为8，即m=8；

（2）把m=8代入方程x²-（m-1）x+（m+4）=0得x²-7x+12=0，
解得x₁=3，x₂=4，
∵a＞b，
∴a=4，b=3．
分析：欲求m的值，可以寻求用m表示的方程．根据题意可得，a²+b²=25，a+b=m-1，ab=m+4，根据（a+b）²=a²+b²+2ab，得
（m-1）²=25+2（m+4），解方程即可得到m的值，注意m不能为负数；再把m的值代入原方程，解方程即可得a，b的值．
点评：本题综合考查了勾股定理与一元二次方程，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．