Question

2．正方形ABCD，点E在CD上，点F在BE上，连接AF、CF，∠BFC=$\frac{1}{2}$∠ABF+45°
（1）求证：∠FAB=∠BFA；
（2）过F作AF⊥FG交BC于G，EF=2，BG=9，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）设∠ABF=x，则∠FBC=90°-x，根据三角形的内角和表示∠BCF=$\frac{1}{2}$x+45°，则∠BFC=∠BCF，得BF=BC，根据正方形的性质得：AB=BF，从而可得：∠FAB=∠BFA；
（2）如图，延长FG交AB的延长线于M，作BK⊥AF于K，AH⊥BF于H．设AB=BF=x．想办法用x不是AH，由△ABH∽△BCF，可得$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AH}{BC}$，列出方程即可解决问题；

解答 证明：（1）设∠ABF=x，则∠FBC=90°-x，
∵∠BFC=$\frac{1}{2}$∠ABF+45°=$\frac{1}{2}$x+45°，
∴∠BCF=180°-（90°-x）-（$\frac{1}{2}$x+45°）=$\frac{1}{2}$x+45°，
∴∠BFC=∠BCF，
∴BF=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∴AB=BF，
∴∠FAB=∠BFA；
（2）如图，延长FG交AB的延长线于M，作BK⊥AF于K，AH⊥BF于H．设AB=BF=x．

∵BA=BF，
∴∠BAF=∠BFA，
∵∠M+∠BAF=90°，∠BFA+∠BFM=90°，
∴∠M=∠BFM，
∴BM=BF=x，
在Rt△BGM中，BM=$\sqrt{{x}^{2}+{9}^{2}}$，
由△MBG∽△MFA可得，$\frac{BM}{FM}$=$\frac{BG}{AF}$=$\frac{GM}{AM}$，
∴$\frac{x}{FM}$=$\frac{9}{AF}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+81}}{2x}$，
∴FM=$\frac{2{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+81}}$，AF=$\frac{18x}{\sqrt{{x}^{2}+81}}$，
易知BK=$\frac{1}{2}$FM=$\frac{{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+81}}$，
∵$\frac{1}{2}$•AF•BK=$\frac{1}{2}$•BF•AH，
∴AH=$\frac{18{x}^{2}}{{x}^{2}+81}$，
∵△ABH∽△BCF，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AH}{BC}$，
∴$\frac{x}{x+2}$=$\frac{\frac{18{x}^{2}}{{x}^{2}+81}}{x}$，
∴x=15或3（舍弃），
∴BF=15．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．