Question

如图所示，己知点P是x轴上一点，以P为圆心的⊙P分别与x轴、y轴交于点A、B和C、D，其中A（-3，0），B（1，0）．过点C作⊙P的切线交x轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
（2）求过A、B、C三点的抛物线解析式；
（3）第（2）问中的抛物线的顶点是否在直线CE上，请说明理由；
（4）点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问m在什么范围内时，直线FB与⊙P相交？

Answer 1

分析：（1）从A，B两点的坐标，可知圆的半径为2，那么PO=PB-OB=2-1=1，利用勾股定理可求得OC长，可求得∠CPO=60°连接PC后，利用∠CP0的余弦值可得到PE长．设出直线解析式，把C，E坐标代入即可；
（2）用交点式设出二次函数解析式，把C坐标代入即可；
（3）求得顶点坐标，把横坐标代入直线解析式，看函数值是否等于纵坐标；
（4）应先找到相切时，m的值．注意此时m的取值在0和3之间．

解答：解：（1）连接PC，OC=

22-12

=

3

，
∵cos∠CPO=PO：PC=1：2
∴∠CPO=60°，
∴PE=4，
∴OE=3，
c（0，

3

），E（3，0）．
设直线CE的解析式为y=kx+b，
b=

3

，3k+b=0，
解得k=-

3

3

x，
∴y=-

3 x

3

+

3

．

（2）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1）
∵点C（0，

3

）在图象上，
代入得a=-

3

3

∴y=-

3

3

（x+3）（x-1）．

（3）抛物线顶点为（-1，

4 3

3

），
当x=-1时，代入直线CE解析式y=

4 3

3

，
故（2）中抛物线顶点在直线CE上．

（4）当FB与OE垂直时，FB切⊙P于B，此时m=1．
而点F在线段CE其他位置时，FB都与⊙P相交．
故0≤m≤3且m≠1．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数解析式；
点在函数解析式上，点的横纵坐标应适合这个解析式；
过圆上一点的直线与圆的位置关系只有相切和相交两种．