已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过x轴上的两点A(x1,0)、B(x2,0)和轴上的点C(0,),⊙P的圆心P在y轴上,且经过B、C两点,若,AB=,
(1)求抛物线的解析式;
(2)D在抛物线上,且C、D两点关于抛物线的对称轴对称,问直线BD是否经过圆心P?并说明理由;
(3)设直线BD交⊙P于另一点E,求经过点E的⊙P的切线的解析式.
解(1)依题意得,则+=,= 又∵∣-∣=,即= ∴,解得 ∴抛物线的解析式为 (2)由(1)得抛物线 令y=0,则,解得, ∴A(,0),B(,0) 又C(0,),C、D两点关于直线x=对称,∴D(,) 设经过B、D两点的直线解析式为 解得, ∴ 设⊙P与y轴相交的另一点是M(0,m)圆心P(0,n) 则,∴,∴,∴P(0,) ∵点P(0,)的坐标满足 ∴直线BD经过圆心P. (3)设BD交⊙P于另一点E,过E作BF⊥y轴于F得:△OPB≌△FPE ∴PF=OP=,∴E(,-1) 设经过E的⊙P的切线为l,交y轴于Q,则∠PEQ=90°,EF⊥PQ ∴,即,∴FQ=,Q(0,) 设l的解析式为,∵l经过点E、Q ∴,,∴ ∴经过E点的⊙P的切线解析式是. |
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