Question

7．如图，已知点A（0，2）、B（2$\sqrt{3}$，2）、C（0，4），过点C向右做平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在左侧作等边△APQ，连接PB、BA．
（1）当AB∥PQ时，点P的横坐标是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）当BP∥QA时，点P的横坐标是0或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意画出符合题意的图形，当AB为梯形的底时，PQ∥AB，可得Q在CP上，由△APQ是等边三角形，CP∥x轴，即可求得答案；
（2）当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，易得四边形ABPC是平行四边形，即可求得CP的长，继而可求得点P的横坐标．

解答 解：（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB，
∴Q在CP上，
∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，
∴AC垂直平分PQ，
∵A（0，2），C（0，4），
∴AC=2，
∴PC=AC•tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，
∴Q在y轴上，
∴BP∥y轴，
∵CP∥x轴，
∴四边形ABPC是平行四边形，
∴CP=AB=2$\sqrt{3}$，
如图3，当C与P重合时，
∵A（0，2）、B（2$\sqrt{3}$，2），
∴tan∠APB=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠APB=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠ACB=∠PAQ，
∴AQ∥BP，
∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为腰的梯形，
此时点P的横坐标为0；
∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：0或2$\sqrt{3}$．
故答案为：（1）$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；（2）0或2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质．解题的关键是根据题意画出符合要求的图形，然后利用数形结合思想求解．