阅读发现:(1)如图①.在Rt△ABC和Rt△DBE中.∠ABC=∠DBE=90°.AB=BC=3.BD=BE=1.连结CD.AE．易证:△BCD≌△BAE．提出问题:的条件下.当BD∥AE时.延长CD交AE于点F.如图②.求AF的长．解决问题:(3)如图③.在Rt△ABC和Rt△DBE中.∠ABC=∠DBE=90°.∠BAC=∠DEB=30°.连结CD.AE．当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．阅读发现：（1）如图①，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD，AE．易证：△BCD≌△BAE．（不需要证明）
提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD∥AE时，延长CD交AE于点F，如图②，求AF的长．
解决问题：（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD，AE．当∠BAE=45°时，点E到AB的距离EF的长为2，求线段CD的长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

分析（2）由△BCD≌△BAE，得到∠OAF=∠OCB，根据“8字型”证明∠AFO=∠CBO=90°，在RT△BDC中利用勾股定理求出CD，再证明BD=EF即可解决问题．
（3）根据两边成比例夹角相等两三角形相似，可以证明△ABE∽△CBD，得$\frac{AE}{CD}$=$\frac{BE}{BD}$=$\sqrt{3}$，再求出AE即可解决问题．

解答（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．
由（1）可知：△BCD≌△BAE，
∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，
∴∠AFO=∠CBO=90°，
∴CF⊥AE，∵BD∥AE，
∴BD⊥CF，
在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，
∴CD=AE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，
∴四边形EFDB是矩形，
∴EF=BD=1，
∴AF=AE-EF=2$\sqrt{2}$-1．
（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$BC，BE=$\sqrt{3}$BD，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∵∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△ABE∽△CBD，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{BE}{BD}$=$\sqrt{3}$，
在RT△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，
∴AF=EF=2，AE=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{CD}$=$\sqrt{3}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形和相似三角形的性质和判定解决问题，属于中考常考题型．

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