Question

在一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住，保持正方形ABCD不动，顺时针旋转正方形EFGH，如图所示．
（1）小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论．下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：
①ME=MA
②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值；
③∠MON保持45°不变．
请你对这三个猜想做出判断（正确的在序号后的括号内打上“√”，错误的打上“×”）：
①________　②________ ③________
（2）上面的三个猜想中若有正确的，请选择其中的一个给予证明；若都是错误的，请选择其一说明理由．
（3）小组成员还发现：（1）中的△ENN的面积S随着旋转角度∠AOE的变化而变化．请你指出当旋转角∠AOE为多少度时△ENN的面积S取得最大值．（不必证明）

Answer 1

解：（1）故答案为：①（√）②（×）③（√）．

（2）证明：对于猜想①，
连接OA、OE、AE，
由已知得：OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠OAM=∠OEM=45°，
∴∠OAE-∠OAM=∠OEA-∠OEM，
即∠MAE=∠MEA，
∴ME=MA．
对于猜想③，
证明：OM平分∠EOA，
同理ON平分∠DOE，
∴∠MOE+∠NOE=∠AOD=×90°=45°，
即∠MON保持45°不变．

（3）当∠AOE=45°时，△EMN的面积S取最大值．
分析：（1）通过观察图形，进行猜想即可；
（2）连接OA、OE、AE，根据旋转性质和正方形的性质，推出∠MAO=∠MEO，推出∠MAE=∠MEA，根据等腰三角形的判定推出ME=MA即可；∠MOE+∠NOE=∠AOD，代入求出即可；
（3）求出∠AOE=45°时，三角形的面积最大．
点评：本题考查了旋转的性质和正方形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，旋转变化前后，对应角、对应线段分别相等，图形的大小、形状都不变，正方形是特殊条件最多的图形，它的性质要好好掌握．