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徒骇河大桥是我市第一座特大型桥梁,大桥桥体造型新颖,气势恢宏,两条拱肋如长虹卧波,极具时代气息(如图①).大桥为中承式悬索拱桥,大桥的主拱肋ACB是抛物线的一部分(如图②),跨径AB为100m,拱高OC为25m,抛物线顶点C到桥面的距离为17m.
(1)请建立适当的坐标系,求该抛物线所对应的函数关系式;
(2)七月份汛期来临,河水水位上涨,假设水位比AB所在直线高出1.96m,这时位于水面上的拱肋的跨径是多少?在不计桥面厚度的情况,一条高出水面4.6m的游船是否能够顺利通过大桥?
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分析:(1)首先建立直角坐标系,设抛物线的函数关系式为y=ax2+c,把已知坐标代入解析式可解;
(2)把y=1.96代入函数关系式求出x的解即可.
解答:解:(1)以AB所在直线为x轴,直线OC为y轴,建立直角坐标系,精英家教网
如图所示:设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+c,由题意得B(50,0),C(0,25)
25=0+c
0=502a+c

解得a=-
1
100
,c=25
∴抛物线对应的函数关系式是y=-
1
100
x2+25


(2)当水位比AB所在直线高出1.96米时,
将y=1.96代入函数关系式得1.96=-
1
100
x2+25

得x=±48,
∴由题意:48×2=96米,
故位于水面上的拱肋的跨径是96米,
根据题意,游船的最高点到桥面的距离为(25-17)-(1.96+4.6)=1.44米,
所以游船能顺利通过大桥.
点评:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
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