Question

徒骇河大桥是我市第一座特大型桥梁，大桥桥体造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息（如图①）．大桥为中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋ACB是抛物线的一部分（如图②），跨径AB为100m，拱高OC为25m，抛物线顶点C到桥面的距离为17m．
（1）请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比AB所在直线高出1.96m，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面厚度的情况，一条高出水面4.6m的游船是否能够顺利通过大桥？

Answer 1

分析：（1）首先建立直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y=ax²+c，把已知坐标代入解析式可解；
（2）把y=1.96代入函数关系式求出x的解即可．

解答：解：（1）以AB所在直线为x轴，直线OC为y轴，建立直角坐标系，
如图所示：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax²+c，由题意得B（50，0），C（0，25）
∴

25=0+c 0=502a+c

解得a=-

1

100

，c=25
∴抛物线对应的函数关系式是y=-

1

100

x2+25；

（2）当水位比AB所在直线高出1.96米时，
将y=1.96代入函数关系式得1.96=-

1

100

x2+25，
得x=±48，
∴由题意：48×2=96米，
故位于水面上的拱肋的跨径是96米，
根据题意，游船的最高点到桥面的距离为（25-17）-（1.96+4.6）=1.44米，
所以游船能顺利通过大桥．

点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．