Question

【题目】已知：等腰△ABC中，AB=AC，点D是直线AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，∠CAE的角平分线所在的直线交BE于F，连结CF．

（1）如图1，当点D在线段AC上时，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）如图2，当∠ABC=60°且点D在线段AC上时，求证：AF+EF=FB．（提示：将线段FB拆分成两部分）
（3）①如图3，当∠ABC=45°其点D在线段AC上时，线段AF、EF、FB仍有（2）中的结论吗？若有，加以证明；若没有，则有怎样的数量关系，直接写出答案即可．
②如图4，当∠ABC=45°且点D在CA的延长线时，请你按题意将图形补充完成．并直接写出线段AF、EF、FB的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

∵AF平分∠CAE，

∴∠EAF=∠CAF，

∵AB=AC，AB=AE，

∴AE=AC，

在△ACF和△AEF中，

，

∴△ACF≌△AEF（SAS），

∴∠E=∠ACF，

∵AB=AE，

∴∠E=∠ABE，

∴∠ABE=∠ACF

（2）证明：在FB上截取BM=CF，连接AM，如图2，

∵△ACF≌△AEF，

∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，

在△ABM和△ACF中，

，

∴△ABM≌△ACF（SAS），

∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，

∵AB=AC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，

∵AM=AF，

∴△AMF为等边三角形，

∴AF=AM=MF，

∴AF+EF=BM+MF=FB，

即AF+EF=FB

（3）证明：①线段AF、EF、FB不是（2）中的结论，线段AF、EF、FB的数量关系为 AF+EF=FB，理由如下：

在FB上截取BM=CF，连接AM，如图3，

∵△ACF≌△AEF，

∴EF=CF=BM，∠E=∠ACF=∠ABM，

在△ABM和△ACF中，

，

∴△ABM≌△ACF（SAS），

∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，

∵AB=AC，∠ABC=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=90°，

∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=90°，

∵AM=AF，

∴△AMF为等腰直角三角形，

∴MF= AF，

∴FB=BM+MF=EF+ AF，

即 AF+EF=FB；

②如图4，在CF上截取CG=BF，连接AG，

在△AFE和△AFC中，

，

∴△AFE≌△AFC（SAS），

∴FE=FC，∠FEA=∠FCA，

∵AB=AE，

∴∠ABF=∠AEF=∠ACF，

在△ABF和△ACG中，

，

∴△ABF≌△ACG（SAS），

∴AG=AF，∠FAB=∠GAC，

∵AB=AC，∠ABC=45°，

∴∠BAC=90°，

∴FAG=90°，

∴△AFG是等腰直角三角形，

∴FG= AF，

∵CF=CG+GF，

∴CF=BF+ AF，

∴EF=BF+ AF

【解析】（1）证△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABE，即可得出答案；（2）在FB上截取BM=CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等边三角形，推出MF=AF，即可得出答案；（3）①在FB上截取BM=CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等腰直角三角形，推出MF= AF，即可得出答案；
②只需在CF上截取CG=BF，先证△AFE≌△AFC，得出CF=EF，再证△ABF≌△ACG，得出△AFG是等腰直角三角形，然后结论显然．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)．