Question

6．设直线y=$\frac{1}{2}$x+2与抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4交于点A，点Q，若在x轴上方的抛物线上只存在相异的两点M、N，S_△MAQ=S_△NAQ=S，则S的取值范围$\frac{15}{2}$＜S＜$\frac{125}{16}$．

Answer 1

分析 显然，S＞0，要求S的上限值，作EF∥AQ，当EF与抛物线只有一个公共点G时，S的上限值为S_△GAQ．根据直线平移的规律可设直线EF的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+a，由直线与抛物线组成的方程组只有一个解，利用判别式为0求出a的值．再求出两直线之间的距离，进而求解即可．

解答 解：作EF∥AQ，使EF与抛物线只有一个公共点G．
设EF的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+a，
把y=$\frac{1}{2}$x+a代入抛物线的解析式得：$\frac{1}{2}$x+a=-$\frac{1}{2}$x²-x+4，
整理，得x²+3x+2a-8=0，
△=9-4（2a-8）=9-8a+32=41-8a=0，
解得：a=$\frac{41}{8}$．
则EF的解析式是：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{41}{8}$．
作FH⊥AQ于H，则FH为直线y=$\frac{1}{2}$x+2与y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{41}{8}$之间的距离．
∵直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，EF的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{41}{8}$，
∴A（-4，0），B（0，2），F（0，$\frac{41}{8}$），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BF=$\frac{41}{8}$-2=$\frac{25}{8}$，
∴sin∠OBA=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴FH=BF•sin∠HBF=$\frac{25}{8}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1}\\{{y}_{2}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴A（-4，0），Q（1，$\frac{5}{2}$），
∴AQ=$\sqrt{（1+4）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴S_△GAQ=$\frac{1}{2}$AQ•FH=$\frac{1}{2}$×$\frac{5\sqrt{5}}{2}$×$\frac{5\sqrt{5}}{4}$=$\frac{125}{16}$，
∴S的取值范围是$\frac{15}{2}$≤S＜$\frac{125}{16}$．
故答案为$\frac{15}{2}$≤S＜$\frac{125}{16}$．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，直线平移的规律，利用待定系数法求一次函数的解析式，函数图象交点的求法，锐角三角函数的定义，三角形的面积等知识，有一定难度．准确作出辅助线求出EF的解析式及FH的长是解题的关键．