Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣ x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点C、D，四边形ABCD是正方形，反比例函数y= 的图象在第一象限经过点A．

（1）求点A的坐标以及k的值：
（2）点P是反比例函数y= （x＞0）的图象上一点，且△PAO的面积为21，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题可得：C（3，0），D（0，4）．

过A作AE⊥y轴于E，如图（1）：

在△AED和△DOC中， ，

∴△AED≌△DOC，

∴AE=DO=4，ED=OC=3，

∴A点坐标为（4，7），

∵点A在反比例函数y= 的图象上，

∴k=28

（2）

解：设点P坐标为（x， ），

①当点P在OA上方时，如图（2）：

过P作PG⊥y轴于G，过A作AF⊥y轴于F，

∵S△APO+S△PGO=S四边形PGFA+S△AFO，S△PGO=S△AFO=14，

∴S△APO=S四边形PGFA，

有： （x+4）（ ﹣7）=21，

解得：x1=﹣8（舍去），x2=2；

即点P的坐标为（2，14）；

②当点P在OA下方时，如图（3）：

过P作PH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，

∵S△APO+S△PHO=S四边形PHMA+S△AMO，S△PHO=S△AMO=14，

∴S△APO=S四边形PHMA，

有： （ +7）（x﹣4）=21，

解得：x3=﹣2（舍去），x4=8，

即点P坐标为（8， ）．

综上可知：当点P坐标为（2，14）或（8， ）时，△PAO的面积为21

【解析】（1）过点A作AE⊥y轴于E，证明△AED≌△DOC，可得点A坐标，代入求解即可；（2）分两种情况讨论：①点P在OA上方时，过P作PG⊥y轴于G，过A作AF⊥y轴于F，通过得出S△APO=S四边形PGFA ， 可得点P坐标；②点P在OA下方时，过P作PH⊥x轴于H，过A作AM⊥x轴于M，通过S△APO=S四边形PHMA ， 可得点P坐标．
【考点精析】掌握反比例函数的概念和反比例函数的图象是解答本题的根本，需要知道形如y＝k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．自变量x的取值范围是x不等于0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数；反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点．