Question

2．探索题：（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
根据前面的规律，回答下列问题：
（1）（x-1）（xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x³+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1
（2）当x=3时，（3-1）（3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁴+…+3³+3²+3+1）=3²⁰¹⁷-1
（3）求：（2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+2²⁰¹³+…+2³+2²+2+1）的值．（请写出解题过程）

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式和多项式的乘法运算法则进行计算即可得解．
（2）把x=3，n=2016代入（1）中的等式进行求值；
（3）根据（1）中得到的规律，在所求的代数式前添加（2-1），利用平方差公式进行计算即可．

解答 解：（1）∵（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
∴（x-1）（xⁿ+x^n-1+…x+1）=xⁿ⁺¹-1．
故答案是：xⁿ⁺¹-1；

（2）当x=3时，（3-1）（3²⁰¹⁶+3²⁰¹⁴+3²⁰¹³+…+3³+3²+3+1）=3²⁰¹⁷-1，
故答案是：3²⁰¹⁷-1；

（3）（2-1）（2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2²+2+1）=2²⁰¹⁶-1．

点评 此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．