Question

6．在△ABC与△A′B′C′中，BE，B′E′分别是△ABC、△A′B′C′的中线，且$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，△ABC∽△A′B′C′吗？为什么？

Answer 1

分析 由中线的性质得出CE=$\frac{1}{2}$AC，C′E′=$\frac{1}{2}$A′C′，由已知条件得出$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{CE}{C′E′}$，证出△BCE∽△B′C′E′，得出∠C=∠C′，即可得出△ABC∽△A′B′C′．

解答 解：△ABC∽△A′B′C′；理由如下：
∵BE，B′E′分别是△ABC、△A′B′C′的中线，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC，C′E′=$\frac{1}{2}$A′C′，
∵$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，
∴$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{2CE}{2C′E′}$，
∴$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{CE}{C′E′}$，
∴△BCE∽△B′C′E′，
∴∠C=∠C′，
又∵$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，
∴△ABC∽△A′B′C′．

点评 本题考查了相似三角形的判定方法、三角形的中线；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过证明三角形相似得出对应角相等，为进一步证明三角形相似得出条件．