Question

【题目】如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接，，过点作与的延长线相交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；

（1）∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
∴△PBD∽△DCA．

（相似三角形的对应边成比例）

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