Question

【题目】已知 AB 为⊙O 的直径，BC⊥AB 于 B，且 BC=AB，D 为半圆⊙O 上的一点，连接 BD 并延长交半圆⊙O 的切线 AE 于 E．

（1）如图 1，若 CD=CB，求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）如图 2，若 F 点在 OB 上，且CD⊥DF，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①不可能；②见解析；（2）

【解析】

（1）连接DO，CO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；
（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边成比例的性质即可解题．

（1）连接DO，CO，

∵BC⊥AB于B，

∴∠ABC=90°，

在△CDO与△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CDO=∠CBO=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，

∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，

∵在△ADF和△BDC中，

，

∴△ADF∽△BDC，

∴，

∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，

∴∠E=∠DAB，

∵在△ADE和△BDA中，

，

∴△ADE∽△BDA，

∴，

∴，即，

∵AB=BC，

∴=1．