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对于任意两个二次函数:y1=a1x2+b1x+c1,y2=a2x2+b2x+c2,(a1a2≠0),当|a1|=|a2|时,我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线.
现有△ABM,A(-1,0),B(1,0).记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母)
(1)若已知M(0,1),△ABM≌△ABN(0,-1).请通过计算判断CABM与CABN是否为全等抛物线;
(2)在图2中,以A、B、M三点为顶点,画出平行四边形.
①若已知M(0,n),求抛物线CABM的解析式,并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线解析式.
②若已知M(m,n),当m,n满足什么条件时,存在抛物线CABM根据以上的探究结果,判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与CABM全等的抛物线?若存在,请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”;若不存在,请说明理由.
(1)设抛物线CABM的解析式为y=ax2+bx+c,
∵抛物线CABM过点A(-1,0),B(1,0),M(0,1),
0=a-b+c
0=a+b+c
1=c

a=-1
b=0
c=1

∴抛物线CABM的解析式为y=-x2+1,
同理可得抛物线CABN的解析式为y=x2+1,
∵|-1|=|1|,
∴CABM与CABN是全等抛物线.

(2)①设抛物线CABM的解析式为y=ax2+bx+c,
∵抛物线CABM过点A(-1,0),B(1,0),M(0,n),
0=a-b+c
0=a+b+c
n=c

抛物线CABM的解析式为y=-nx2+n,
与CABM全等的抛物线有:
y=nx2-n,y=n(x-1)2,y=n(x+1)2
②当n≠0且m≠±1时,存在抛物线CABM,与CABM全等的抛物线有:CABN,CAME,CBMF
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,某隧道口的横截面是抛物线形,已知路宽AB为6米,最高点离地面的距离OC为5米.以最高点O为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴,1米为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系.求:
(1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式,并写出x的取值范围.
(2)有一辆宽2米,高2.5米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道?
(3)如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.2m宽的隔离带,则该农用货车还能通过隧道吗?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线y=-
3
8
x2-
3
4
x+3
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,抛物线经过点(-2,0)(1,0)(0,2)
(1)求二次函数的解析式;
(2)写出顶点坐标和对称轴.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知抛物线y=-x2+mx+n经过点A(1,0),B(6,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线与y轴交于点D,求△ABD的面积;
(3)当y<0,直接写出自变量x的取值范围.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=
1
2
x2-2上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,若点A的坐标是(1,0),点B在点A的右侧.
(1)c=______;
(2)求a的取值范围;
(3)若过点C且平行于x轴的直线交该抛物线于另一点D,AD、BC交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,求S1-S2的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,已知四边形ABCD是等腰梯形,A、B在x轴上,D在y轴上,ABCD,AD=BC=
17
,AB=5,CD=3,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.
(1)求b、c;
(2)设M是x轴上方抛物线上的一动点,它到x轴与y轴的距离之和为d,求d的最大值;
(3)当(2)中M点运动到使d取最大值时,此时记点M为N,设线段AC与y轴交于点E,F为线段EC上一动点,求F到N点与到y轴的距离之和的最小值,并求此时F点的坐标.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,
b
3
≤a≤3b
,AE=AH=CF=CG,则四边形EFGH的面积的最大值是(  )
A.
1
16
(a+b)2
B.
1
8
(a+b)2
C.
1
4
(a+b)2
D.
1
2
(a+b)2

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