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    小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB=3，BC=5．点P在AD上，且AP=2．一球从点P处沿与AD夹角为的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE=QR，PE=PQ+QR．

    请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：
    （1）当点P0与点P重合时，此球所经过的路线总长度
    2
    		34
    2
    		34
    ；
    （2）当点P0与点A重合时（如图③），求此球所经过的路线总长度；
    （3）当点P0落在线段AP上时，求tanθ的取值范围．
    分析：（1）将矩形ABCD沿CD翻折，找到点R关于CD的对称点R'，连接R'P，过点P作PF⊥BC于点F，根据反射角等于入射角，可判断△PER'是等腰三角形，求出PE的长度，即可确定球经过的路线总长度．
    （2）将矩形ABCD沿CD翻折，找到点R关于CD的对称点R'，连接R'P，过点M作MN⊥AD于点N，根据
    AP
    ER′
    =
    PM
    ME
    =
    2
    10
    =
    1
    5
    ，得出
    PM
    PE
    =
    MN
    EF
    =
    1
    6
    ，再由EF=3，求出MN，在Rt△PMN中利用勾股定理求出PM，继而可得出PE，也可得出此球运动的路线长；
    （3）根据（1）（2）分别确定tanθ的值，继而可确定当点P0落在线段AP上时，tanθ的取值范围．
    解答：解：（1）如图，

    将矩形ABCD沿CD翻折，找到点R关于CD的对称点R'，连接R'P，过点P作PF⊥BC于点F，如图1所示：
    由题意可得，CR=CR'，BR=BE，
    ∴ER'=2BC=10，
    由入射角等于反射角，易得RQ∥PR'，
    ∴∠ER'P=∠ERQ，
    由折叠的性质可得：∠ERQ=∠REQ，
    ∴∠ER'Q=∠REQ，
    ∴△PER'是等腰三角形，
    ∴EF=
    1
    2
    ER'=5，
    在Rt△EPF中，EP=
    		PF2+EF2
    =
    		34
    ，
    ∴当点P0与点P重合时，此球所经过的路线总长度=EP+PR'=2EP=2
    		34
    ；

    （2）如图，

    将矩形ABCD沿CD翻折，找到点R关于CD的对称点R'，连接R'P，过点M作MN⊥AD于点N，如图2所示：
    由题意可得，CR=CR'，BR=BE，
    ∴ER'=2BC=10，
    ∵AD∥BC，
    ∴
    AP
    ER′
    =
    PM
    ME
    =
    2
    10
    =
    1
    5
    ，
    ∴
    PM
    PE
    =
    MN
    EF
    =
    1
    6
    ，
    ∵EF=3，
    ∴MN=
    1
    2
    ，
    ∴PM=
    		PN2+MN2
    =
    		5
    2
    ，
    ∴PE=3
    		5
    ，
    ∴当点P0与点A重合时，此球所经过的路线总长度=PE+AR'=2PE=6
    		5
    ．

    （3）由（1）可得，当点P0与点P重合时，tanθ=
    3
    5
    ；
    由（2）得，当点P0与点A重合时，tanθ=
    1
    2
    ；
    综上可得当点P0落在线段AP上时，0.5≤tanθ≤0.6．
    点评：本题属于几何变换的综合问题，主要考查对勾股定理，矩形的性质，轴对称性质，解直角三角形，翻折变换等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意题目提示的解题方法．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下列材料：
    小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，
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    问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E．
    请你参考小贝的思路解决下列问题：
    （1）P点第一次与D点重合前与边相碰
     
    次；P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是
     
    cm；
    （2）近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB=3，BC=5．点P在AD上，且AP=2．一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．
    小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE=QR，PE=PQ+QR．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：
    （1）点P0与点A重合时，此球所经过的路线总长度是
     
    ．
    （2）当点P0落在线段AP上时（如图③），求tanθ的取值范围．
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    科目：初中数学 来源：2011年江苏省无锡市外国语学校中考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

    小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB=3，BC=5．点P在AD上，且AP=2．一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．
    小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE=QR，PE=PQ+QR．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：
    （1）点P与点A重合时，此球所经过的路线总长度是______

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    科目：初中数学 来源：2010年北京市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （2010•北京）阅读下列材料：
    小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm．现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动，…，如图1所示，

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