Question

6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，且D为弧AC的中点，过点D作EF∥AC分别交直线AB，BC于点E、F，AC=6，BD=5．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）求cos∠DAC；
（3）求线段CB的长度．

Answer 1

分析 （1）连接半径OD，证明EF⊥OD，可得结论；
（2）由∠DAC=∠DBA，可知：cos∠DAC=cos∠DBA=$\frac{AG}{AD}=\frac{BD}{AB}$，设AD=3x，AB=5x，则BD=4x，可得结果；
（3）计算AB的长，利用勾股定理得BC的长即可．

解答 （1）证明：连接OD，
∵D为弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∵EF∥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF为⊙O的切线；
（2）∵OD⊥AC
∴AG=CG=$\frac{1}{2}$AC=3，
∵∠DAC=∠DBA，
∴cos∠DAC=cos∠DBA=$\frac{AG}{AD}=\frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{AG}{BD}=\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
设AD=3x，AB=5x，
∴BD=4x，
∴cos∠DAC=cos∠DBA=$\frac{BD}{AB}=\frac{4x}{5x}$=$\frac{4}{5}$；
（3）由BD=5得：4x=5，
x=$\frac{5}{4}$，
∴AB=5x=5×$\frac{5}{4}$=$\frac{25}{4}$，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{6}^{2}}$=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定、同角三角函数、勾股定理，熟练掌握切线的判定是关键，属于常考题型．