Question

已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，连接DE．
求证：四边形BCDE是等腰梯形．

Answer 1

分析：已知△ABC为等腰三角形，BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABC=∠ACB，然后证得△ABD≌△ACE，得出EB=DC，再证明DE∥CB，根据等腰梯形的判定，可证明四边形BCDE是等腰梯形．

解答：证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
在等腰△ABC中，AB=AC，
在△ABD和△ACE中，
∵

∠A=∠A ∠AEC=∠ADB AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
∴AE=AD．
∴AB-AE=AC-AD，
即BE=CD，
∴

AE

AB

=

AD

AC

，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴∠AED=∠ABC．
∴ED∥BC．
又∵BE，CD不平行，
∴四边形BCDE是梯形．
∴四边形BCDE是等腰梯形．
（理由：同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形，或两腰相等的梯形是等腰梯形）．

点评：本题考查的是等腰梯形的判定以及等腰三角形的性质，关键是先求出BE=CD，然后利用等腰梯形的判定证明即可．