Question

13．如图1和2，四边形ABCD是菱形，点P是对角线AC上一点，以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，连接PF，PD，PB．
（1）如图1，点P是AC的中点，请写出PF和PD的数量关系：PF=PD；
（2）如图2，点P不是AC的中点，
①求证：PF=PD．
②若∠ABC=50°，直接写出∠DPF的度数．

Answer 1

分析 （1）根据作图和菱形的性质可以得到PF和PD的数量关系；
（2）①根据作图得到PB=PF，再根据△PCB≌△PCD得到PB=PD，进而得出结论；②根据PB=PF得出∠PBC=∠PFB，根据△PCB≌△PCD得出∠PBC=∠PDC，进而得到∠DCF=∠DPF，最后根据∠DCF的度数进行求解．

解答 （1）根据以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，可知PB=PF
当点P是AC的中点时，点P也是BD的中点，即PB=PD
∴PF和PD的数量关系为PF=PD

（2）①证明：根据以点P为圆心，PB为半径的弧，交BC的延长线于点F，可知PB=PF
∵菱形ABCD
∴BC=DC，∠PCB=∠PCD
在△PCB和△PCD中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠PCB=∠PCD}\\{PC=PC}\end{array}\right.$
∴△PCB≌△PCD（SAS）
∴PB=PD
∴PF=PD
②根据PB=PF，可得∠PBC=∠PFB
根据△PCB≌△PCD，可得∠PBC=∠PDC
∴∠PFB=∠PDC
又∵∠DOP=∠COF
∴∠DCF=∠DPF
由AB∥CD可知，∠DCF=∠ABC=50°
∴∠DPF=50°

点评 本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是运用等量代换进行推导．解题时注意，菱形是轴对称图形，对角线所在直线是菱形的对称轴，对称轴两侧的对应边、对应角都相等．