Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．

（1）求证：△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_______，此时BD=_______；

②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①4，；②60°

【解析】

（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可证△CDP≌△POB；

（2）①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，依此即可求得BD；

②根据有一组对应边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形BPDO是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，以及等边三角形的判定和性质即可求解．

(1)证明：∵PC=PB，D是AC的中点，

∴DP∥AB，

∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，

∵BO=AB，

∴DP=BO，

在△CDP与△POB中，

∴△CDP≌△POB(SAS)；

(2)①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，

(4÷2)×(4÷2)

=2×2

=4；

BD==

②如图：

∵DP∥AB，DP=BO，

∴四边形BPDO是平行四边形，

∵四边形BPDO是菱形，

∴PB=BO，

∵PO=BO，

∴PB=BO=PO，

∴△PBO是等边三角形，

∴∠PBA的度数为60°.