Question

如图，直线与x，y轴分别交于点A，C，过点A、C分别作x，y轴的垂线，交于点B，点D为AB的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△AOC边 A→O→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求点B的坐标；
（2）设△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△ADP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线与x，y轴分别交于点A，C，
∴点A的坐标为：（8，0），点C的坐标为：（0，6），
∵过点A、C分别作x，y轴的垂线，交于点B，
∴点B的坐标为：（8，6）；

（2）当0≤t≤8时，点P在OA上，
∵AP=t，OC=6，
∴S=AP•OC=×t×6=3t；
当8＜t＜14时，点P在OC上，
∵PC=OA+OC-t=14-t，OA=8，
∴S=PC•OA=×（14-t）×8=-4t+56；

（3）存在．
∵点D为AB的中点，
∴AD=AB=3，
①当0≤t≤8时，点P在OA上，
∵∠OAD=90°，
∴当AP=AD=3时，
∴t=3；
②如图1，当8＜t≤14时，点P在OC上，
过点P作PH⊥AB于点H，
∵PA=PD，
∴AH=AD=1.5，
∴OP=AH=1.5，
∴t=9.5；
③如图2，当14＜t≤24时，点P在AC上，
当AD=P₁D时，AP₁=2AD•cos∠BAC=3.6，
∴t=OA+OC+AC-AP₁=24-3.6=20.4；
当AP₂=AD=3时，t=24-3=21；
当AP₃=P₃D时，AP₃=2.5，
∴t=24-2.5=21.5．
综上可得：t=3或t=9.5或t=20.4或 t=21或t=21.5．
分析：（1）由直线与x，y轴分别交于点A，C，即可求得点A与C的坐标，又由过点A、C分别作x，y轴的垂线，交于点B，即可求得点B的坐标；
（2）分别从点P在OA上与点P在OC上去分析求解即可求得答案；
（3）分别从点P在OA上、点P在OC上与点P在AC上去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了一次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．